Երկրաչափություն 10. 05. 2023թ․

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործվում են եռանկյան կողմերի և անկյունների հաշվման համար: 

1) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

2) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս կոչվում է այդ անկյան կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

3) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին:

α անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը նշանակում են՝

sinα «սինուս ալֆա»

cosα «կոսինուս ալֆա»

tgα «տանգենս ալֆա»

sinα=դիմացի էջ/ներքնաձիգ՝ sinα=a/c

cosα=կից էջ/ներքնաձիգ՝ cosα=b/c

tgα=դիմացի էջ/կից էջ՝ tgα=a/b

Ինչպե՞ս ընտրել ճիշտ ֆունկցիան

Եթե օգտագործվում են միայն էջերը, ապա կիրառվում է tg:

Եթե օգտագործվում է ներքնաձիգը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում են sin կամ cos:

Եթե օգտագործվում է դիմացի էջը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում է sin:

Եթե օգտագործվում է կից էջը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում է cos:

Եթե տրված են եռանկյան երկու սուր անկյունները, ապա հարմար է գծագրի վրա նշել դրանցից միայն մեկը, որպեսզի միարժեքորեն հասկանանք, թե որն է կից էջը, իսկ որը՝ դիմացի էջը:

Երկրաչափություն 03. 05. 2023թ․

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործվում են եռանկյան կողմերի և անկյունների հաշվման համար: 

1) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

2) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս կոչվում է այդ անկյան կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

3) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին:

α անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը նշանակում են՝

sinα «սինուս ալֆա»

cosα «կոսինուս ալֆա»

tgα «տանգենս ալֆա»

sinα=դիմացի էջ/ներքնաձիգ՝ sinα=a/c

cosα=կից էջ/ներքնաձիգ՝ cosα=b/c

tgα=դիմացի էջ/կից էջ՝ tgα=a/b

Ինչպե՞ս ընտրել ճիշտ ֆունկցիան

Եթե օգտագործվում են միայն էջերը, ապա կիրառվում է tg:

Եթե օգտագործվում է ներքնաձիգը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում են sin կամ cos:

Եթե օգտագործվում է դիմացի էջը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում է sin:

Եթե օգտագործվում է կից էջը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում է cos:

Եթե տրված են եռանկյան երկու սուր անկյունները, ապա հարմար է գծագրի վրա նշել դրանցից միայն մեկը, որպեսզի միարժեքորեն հասկանանք, թե որն է կից էջը, իսկ որը՝ դիմացի էջը:

Ներքնաձիգը միշտ հայտարարում է:

Խնդիրներ (բոլոր խնդիրները գծագրել GeoGebra ծրագրի միջոցով)

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-

-10-

Լրացուցիչ խնդիրներ

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-

-10-

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործվում են եռանկյան կողմերի և անկյունների հաշվման համար: 

1) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

2) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս կոչվում է այդ անկյան կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

3) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին:

α անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը նշանակում են՝

sinα «սինուս ալֆա»

cosα «կոսինուս ալֆա»

tgα «տանգենս ալֆա»

sinα=դիմացի էջ/ներքնաձիգ՝ sinα=a/c

cosα=կից էջ/ներքնաձիգ՝ cosα=b/c

tgα=դիմացի էջ/կից էջ՝ tgα=a/b

Ինչպե՞ս ընտրել ճիշտ ֆունկցիան

Եթե օգտագործվում են միայն էջերը, ապա կիրառվում է tg:

Եթե օգտագործվում է ներքնաձիգը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում են sin կամ cos:

Եթե օգտագործվում է դիմացի էջը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում է sin:

Եթե օգտագործվում է կից էջը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում է cos:

Եթե տրված են եռանկյան երկու սուր անկյունները, ապա հարմար է գծագրի վրա նշել դրանցից միայն մեկը, որպեսզի միարժեքորեն հասկանանք, թե որն է կից էջը, իսկ որը՝ դիմացի էջը:

Ներքնաձիգը միշտ հայտարարում է:

Պյութագորասի թեորեմը

Պյութագորաս (մ.թ.ա. 570–490 թ.)՝ հույն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա:

Պյութագորասի կենսագրության փաստերը հայտնի չեն: Նրա կյանքի մասին կարելի է դատել մյուս հույն փիլիսոփաների ստեղծագործությունների հիման վրա: Նրանց վկայությամբ Պյութագորասը շփվում էր իր ժամանակի ճանաչված մտածողների և գիտնականների հետ: Հայտնի է, որ Պյութագորասը երկար ժամանակ անցկացրել է Եգիպտոսում՝ ուսումնասիրելով տեղի ավանդույթներն ու հայտնագործությունները:

Մաթեմատիկայում Պյութագորասն ունեցավ մեծ հաջողություններ: Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին:  

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ներկայումս թեորեմը հնչում է այսպես՝

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c²=a²+b²։

Հայտնի են այս թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, սակայն ամենաակնառու ապացույցներից մեկը հիմնված է մակերեսների վրա:

1. Կառուցենք եռանկյան էջերի a+b գումարին հավասար կողմով քառակուսի: Քառակուսու մակերեսը (a+b)² է:

2. Եթե տանենք c ներքնաձիգները, ապա կառուցված քառակուսու ներսում կառաջանա ևս քառանկյուն: Քառանկյան բոլոր կողմերը հավասար են c-ի, իսկ անկյունները՝ ուղիղ են: Իրոք, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է, հետևաբար քառանկյան անկյունը ևս պիտի լինի 90°, որպեսզի նրանց գումարը հավասար լինի 180° -ի:

Այսպիսով, առաջացած քառանկյունը ևս քառակուսի է: Հետևաբար, մեծ քառակուսու մակերեսը բաղկացած է ներսի քառակուսու մակերեսից և չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների մակերեսներից:

3. Մեծ քառակուսու երկու կողմերի վրա տեղերով փոխենք a և b հատվածները, դրանից քառակուսու կողմը չի փոխվի: Հիմա քառակուսու մակերեսը բաղկացած է a և b կողմերով երկու քառակուսիներից և երկու ուղղանկյուններից՝

4. Համեմատելով մեծ քառակուսու մակերեսը երկու նկարներում, եզրակացնում ենք, որ՝ 4⋅ab/2+c²=a²+2ab+b², որտեղից գալիս ենք պահանջվող հավասարությանը՝

c²=a²+b²

Այս հավասարությունից կարելի է արտահայտել c ներքնաձիգը՝ a և b էջերի միջոցով՝

c²=a²+b²

c=√(a²+b²)

Կարելի է նաև մի էջը արտահայտել ներքնաձիգի և մյուս էջի միջոցով՝

a²=c²−b²

a=√(c²−b²)

Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ:
Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Օրինակ` Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

9²=6²+7²;
81≠36+49

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

13²=12²+5²;
169=144+25

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Խնդիրներ

Լրացուցիչ Խնդիրներ

Խնդիր 1

Խնդիր 2

Խնդիր 3

Սեղանի մակերեսը

Սեղանի երկու հիմքերը զուգահեռ են, հետևաբար, նրանց միացնող ուղղահայացը սեղանի բարձրությունն է:

Սովորաբար բարձրությունը տանում են գագաթից, կամ անկյունագծերի հատման կետով: 

 Բարձրությամբ և անկյունագծով սեղանը բաժանվում է երեք եռանկյունների: Սեղանի մակերեսը հաշվում ենք, որպես այդ եռանկյունների մակերեսների գումար:

 S_ABCD=S_ABD+S_DBC

S_ABCD=AD⋅BE/2+BC⋅DF/2=AD⋅BE/2+BC⋅BE/2=(AD+BC)⋅BE/2

Եթե սեղանի զուգահեռ կողմերը (հիմքերը) նշանակենք a և b, իսկ բարձրությունը՝ h, ապա՝

S_սեղան=(a+b)/2⋅h

Խնդիրներ

Եռանկյան մակերեսը

Քանի որ զուգահեռագծի անկյունագիծը այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների, ապա եռանկյան մակերեսը հավասար է զուգահեռագծի մակերեսի կեսին:

 S_{եռանկյուն}=ah_a/2, որտեղ  h_a-ն եռանկյան բարձրությունն է (նկարում՝ BE-ն), որը տարված է a կողմին (նկարում՝ AD-ն):

Եռանկյան մակերեսը հաշվելու համար կարելի է օգտագործել եռանկյան ցանկացած կողմը և նրան տարված բարձրությունը: 

Երբեմն, եթե հայտնի են եռանկյան բոլոր երեք կողմերը, հարմար է օգտագործել Հերոնի բանաձևը՝

S_Δ=√p(p−a)(p−b)(p−c), p=a+b+c/2  որտեղ a, b և c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ p-ն՝ կիսապարագիծը:

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է էջերի արտադրյալի կեսին։

Քանի որ ուղղանկյուն եռանկյան էջերը փոխուղղահայաց են, ապա մի էջը կարելի է դիտարկել՝ որպես կողմ, իսկ մյուսը՝ որպես բարձրություն, տարված այդ կողմին:

Ստանում ենք հետևյալ բանաձևը՝ S=a⋅b/2, որտեղ a-ն և b-ն էջերն են:

Ուղղանկյուն եռանկյան համար ուժի մեջ է նաև եռանկյան մակերեսի ընդհանուր բանաձևը:

Խնդիր 1

Խնդիր 2

Խնդիր 3

Խնդիր 4

Խնդիր 5

Խնդիր 6

Խնդիր 7

Խնդիր 8

Խնդիր 9

Խնդիր 10

Խնդիր 11

Խնդիր 12

Զուգահեռագծի մակերեսը

Պետք է սահմանել, թե ո՞րն է զուգահեռագծի բարձրությունը:

Այն ուղղահայացը, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը կոչվում է զուգահեռագծի բարձրություն։

Սովորաբար ուղղահայացը տանում են զուգահեռագծի գագաթից:

Քանի որ զուգահեռագիծն ունի տարբեր երկարությամբ կողմերի երկու զույգ, ապա այն ունի տարբեր երկարությամբ երկու բարձրություն:

Գծագրում պատկերված BE բարձրությունը, որը տարված է երկու մեծ կողմերի միջև ավելի կարճ է, քան BF-ը, որը տարված է կարճ կողմերի միջև:   

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:

B և C գագաթներից տանենք բարձրություններ AD կողմին:

ABE և DCF ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են (հավասար ներքնաձիգներ՝ զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը, և հավասար էջեր՝ հեռավորությունները զուգահեռ ուղիղների միջև):

ABCD զուգահեռագիծը և EBCF ուղղանկյունը հավասարամեծ են՝ ունեն հավասար մակերեսներ, քանի որ բաղկացած են հավասար պատկերներից:

S_ABCD=S_ABE+S_EBCD

S_EBCF=S_EBCD+S_DC

Հետևաբար, զուգահեռագծի մակերեսը կարելի է հաշվել` հաշվելով ուղղանկյան մակերեսը՝

S_EBCF =BE⋅BC

S_ABCD =BE⋅BC=BC⋅AD։

Եթե a-ով նշանակենք կողմը, իսկ h-ով բարձրությունը, ապա՝ S_{զուգահեռագիծ}=a⋅h

Շեղանկյան մակերեսը

Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և հատման կետով կիսվում են:

Շեղանկյունը բաժանվում է չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների: 

S_ABCD =4⋅ S_ABO=4⋅BO⋅AO/2=2⋅BO⋅AO

Շեղանկյան մակերեսի բանաձևը՝ S_{շեղանկյուն}=d₁⋅d₂/2։

Այս բանաձևը մնում է ուժի մեջ ցանկացած քառանկյան համար, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են:

Քանի որ քառակուսու անկյունագծերը հավասար են, ապա նրա մակերեսը որոշելու համար բավական է ունենալ անկյունագծերից մեկի երկարությունը՝ S_{քառակուսի}=d²/2։

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

Խնդիր 1

Խնդիր 2

Խնդիր 3

Խնդիր 4

Խնդիր 5

Խնդիր 6

Խնդիր 7

Խնդիր 8

Խնդիր 9

Խնդիր 10

ԲԱԶՄԱՆԿՅԱՆ ՄԱԿԵՐԵՍԸ

Բազմանկյան մակերեսը հարթության այն մասն է, որը զբաղեցնում է բազմանկյունը: Որպես մակերեսի չափման միավոր վերցնում ենք այդ պատկերի կողմի չափման միավորի քառակուսին։ Օրինակ, պատկերի կողմը չափում ենք մետրով՝ մ, ապա մակերեսը կլինի քառակուսի մետր՝ մ²։ 1սմ²=10մմ⋅10մմ=100մմ²
1մ²=100սմ⋅100սմ=10000սմ² 1կմ²=100000սմ⋅100000սմ=10000000000սմ²

Տեսանյութ (պարագիծ և մակերես)

Մակերեսի հատկությունները:1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են․ դրանց անվանում ենք հավասարամեծ պատկերներ։
Եթե բազմանկյունների մակերեսները հավասար են, իսկ բազմանկյունները հավասար չեն, ապա նրանք կոչվում են հավասարամեծ:

Նկարում բերված են երեք հավասարամեծ ուղղանկյուններ, որոնց մակերեսները հավասար են 12 քառակուսի միավորի:

Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կից կողմերի արտադրյալին:   2. Եթե բազմանկյունը կազմված է մի քանի բազմանկյուններից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ բազմանկյունների մակերեսների գումարին:

ԿԱՆՈՆԱՎՈՐ ԲԱԶՄԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ

Կանոնավոր կոչվում են այն ուռուցիկ բազմանկյունները, որոնց բոլոր կողմերը և անկյունները հավասար են:

Նկարում բերված են կանոնավոր բազմանկյունների օրինակներ՝ եռանկյուն (հավասարակողմ), քառանկյուն (քառակուսի), հնգանկյուն, վեցանկյուն:

Եթե կանոնավոր բազմանկյան մեջ տանենք անկյունագծեր, ապա կստացվեն կանոնավոր ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ:

Եթե անկյունագծերը տանենք նույն գագաթից, ապա կանոնավոր n-անկյունը կբաժանվի n−2 եռանկյունների:

Կանոնավոր n-անկյան ներքին անկյունների գումարը 180°⋅(n−2) է:

Քանի որ, կանոնավոր n-անկյան բոլոր անկյունները հավասար են, ապա դրանցից մեկի աստիճանային չափը կլինի` 180°⋅(n−2)/n

Կանոնավոր բազմանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերը

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյանը կարելի է ներգծել և արտագծել շրջանագծեր: Երկու շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են և կոչվում են կանոնավոր բազմանկյան կենտրոն:

Ներգծյալ շրջանագիծը շոշափում է բազմանկյան բոլոր կողմերը նրանց միջնակետերում, արտագծյալ շրջանագիծը անցնում է բազմանկյան բոլոր գագաթներով:

∡AOH=360°/n; ∡AOK=360°/2n=180°/n

Հավասարակողմ եռանկյան (կանոնավոր եռանկյուն) և քառակուսու (կանոնավոր քառանկյուն) համար մեր դիտարկած բանաձևերը մնում են ուժի մեջ:

ԵՌԱՆԿՅԱՆ ՉՈՐՍ ՆՇԱՆԱՎՈՐ ԿԵՏԵՐԸ

Թեորեմ 1: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից:Թեորեմ 2 (հակադարձ): Եթե անկյան մեջ ընկած կետը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ապա այն ընկած է անկյան կիսորդի վրա:

Թեորեմ 3: Հատվածի միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից:Թեորեմ 4 (հակադարձ): Եթե կետը հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից, ապա այն ընկած է հատվածի միջնուղղահայացի վրա:

Եռանկյան առաջին նշանավոր կետը՝ կիսորդների հատման կետըԹեորեմ 5: Եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:

AN -ը և BM -ը կիսորդներ են, O -ն նրանց հատման կետն է:Արդյո՞ք CK -ն էլ է անկյան կիսորդ: O կետը հավասարահեռ է AB, AC և BA, BC կողմերից: Ուրեմն, այն հավասարահեռ է AC և BC կողմերից: Ըստ թեորեմ 2 -ի, O կետն ընկած է ∡C անկյան կիսորդի վրա:Այս կետը եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնն է և միշտ ընկած է եռանկյան մեջ:Եռանկյան երկրորդ նշանավոր կետը՝ կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետըԹեորեմ 6: Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են միևնույն կետում:

Դիցուք O կետը AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետն է: Քանի որ այն հավասարահեռ է A, B և B, C կետերից, ապա, ըստ Թեորեմ 4-ի, այն ընկած է նաև AC կողմի միջնուղղահայացի վրա:Այս կետը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոննէ: Եթե եռանկյունը սուրանկյուն է, ապա կետը ընկած է եռանկյան մեջ, եթե եռանկյունը բութանկյուն է, ապա այն ընկած է եռանկյունից դուրս և, եթե եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա այն ընկած է ներքնաձիգի վրա:Եռանկյան երրորդ նշանավոր կետը՝ միջնագծերի հատման կետըԹեորեմ 7: Եռանկյան միջնագծերը հատվում են միևնույն կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2 : 1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից:

Միջնակետերի հատման կետն անվանում են եռանկյան ծանրության կենտրոն:Եռանկյան չորրորդ նշանավոր կետը՝ բարձրությունների հատման կետըԹեորեմ 8: Եռանկյան բարձրությունները (կամ նրանց շարունակությունները) հատվում են միևնույն կետում:

Բարձրությունների հատման կետն անվանում են եռանկյան օրտոկեն